Polynomial (Part 2)

လက္ေတြဘ၀တြင္ အသံုး၀င္ေသာ Polynomial

Polynomial တစ္ခု ကို ေယ်ဘုယ် …

anx n +an – 1x n – 1 + … + a1x + a0  ေဖၚျပႏိုင္ေၾကာင္း ေျပာခ့ဲၿပီးပါၿပီ။

ဒီေနရာမွာ an , an – 1, … , a1 , a0 , တို႔ဟာ coefficients (ေျမႇာက္ေဖာ္ကိန္း) ေတြ ျဖစ္ၾကပါတယ္။ x ဆိုတာကေတာ့ variable (ကိန္းရွင္) ျဖစ္ၿပီးေတာ့ set of real numbers (ကိန္းစစ္ အစု) ထဲက မည္သည့္ real number မဆို ျဖစ္ႏိုင္ပါတယ္။ ဒါ့ေၾကာင့္ polynomial ဆိုတာ ကိန္းစစ္အစု ႏွစ္ခုၾကား ဆက္သြယ္ထားတဲ့ function တစ္ခုလို႔လဲ ေျပာလို႔ရပါတယ္။

f : R —-> R, f (x ) = anx n +an – 1x n – 1 + … + a1x + a0  လို႔ ေျပာႏိုင္တာေပါ့။ 

Polynomial ေတြ လက္ေတြ႕ေလာကမွာ သံုးလို႔ရလား၊ ဘယ္ေနရာေတြမွာ သံုးလဲ

 

ဆိုၾကပါဆို႔ ေသတၱာတစ္လံုးကို အနံ x cm ထားမယ္။ အလ်ားက အနံထက္ 3 cm ပိုၿပီး၊ အျမင့္က အနံေအာက္္ 2cm ေလ်ာ့မယ္ဆိုရင္…

အလ်ား = (x + 3) cm

အနံ = x  cm

အျမင့္ = (x – 2) cm ျဖစ္ပါမယ္။ ဒါဆိုရင္ …

ထုထည္ = အလ်ား × အနံ × အျမင့္ = (x + 3) x  (x – 2) = x 3 + x 2 – 6x  ဆိုၿပီး အနံတန္ဖိုး သိ႐ံုနဲ႔ ထုထည္ကို ရွာႏိုင္တဲ့ ပံုေသနည္း တစ္ခု ရၿပီေပါ့။ ၎ပံုေသနည္းဟာ polynomial တစ္ခု ျဖစ္တယ္ ဆိုတာ သိေလာက္ပါၿပီ။

အိုလံပစ္ အားကစားမွာ ပါ၀င္တဲ့ သံလံုးပစ္၊ လွံတံပစ္ အားကစားကို အားလံုးသိၿပီးသား ျဖစ္မွာပါ။ ပစ္လိုက္တဲ့ သံလံုး၊လွံတံေတြဟာ parabolic carve (ပါရာဗိုလာ မ်ဥ္းေကြး) အတိုင္း ေ႐ြ႕လ်ားသြားပါတယ္။ အားကစားသမားရဲ့ လက္ထဲမွာ ရွိေနစဥ္ သံလံုးဟာ ေျမျပင္အထက္ တစ္ေနရာ(s0) ႐ွိေနၿပီး စပစ္လိုက္တဲ့ အခ်ိန္မွာေတာ့ အလ်င္တစ္ခု (v0) ရ႐ွိသြားပါတယ္။ ေရြ႕လ်ားေနစဥ္ အခ်ိန္အတြင္းမွာ သံလံုးဟာ ကမာၻေျမ ဆြဲ႐ွိန္(g) ေၾကာင့္ တစ္သမတ္အျမင့္နဲ႔ ေ႐ြ႕လ်ားေနတာ မဟုတ္ပါဘူး။ ပစ္လိုက္တဲ့ အားတစ္ခုေၾကာင့္ ျမင့္တက္သြားၿပီး အျမင့္ဆံုးေနရာ ေရာက္တဲ့အခ်ိန္မွာ ကမာၻေျမ ဆြဲအားေၾကာင့္ ျပန္က်လာမွာ ျဖစ္ပါတယ္။ ဒီအခါမွာ သံလံုးေ႐ြ႕လ်ားေနစဥ္ ဘယ္အခ်ိန္ (t) မွာ ဘယ္ေလာက္ အျမင့္မွာ ရွိေနမလဲဆိုတာကို ပံုေသနည္း (formula) ထုတ္ၿပီး တြက္ယူႏိုင္ပါတယ္။ 

s0 = အားကစားသမား၏ အရပ္

v0 = သံလံုး၏ မူလ အလ်င္

g = ကမာၻေျမ ဆြဲရွိန္

t = အျမင့္ေနရာ တစ္ခုသို႔ သံလံုးေရာက္ရွိခ်ိန္ 

s = t အခ်ိန္တြင္ သံလံုးေရာက္ရွိေနသာ အျမင့္

s0, v0, g, t ဆိုသည့္ အခ်က္ အလက္မ်ားကို သိရွိပါက t အခ်ိန္တြင္ သံလံုးေရာက္ရွိေနသာ အျမင့္ကို ေအာက္ပါအတိုင္း တြက္ယူႏိုင္ပါသည္။

၎ပံုေသနည္းမွာ s ဆိုတာ t နဲ႔ တည္ေဆာက္ထားေသာ polynomial function တစ္ခု ျဖစ္တယ္ဆိုတာ သိေလာက္ၿပီလို႔ ယူဆပါတယ္။

Polynomial (Part -1)

Polynomial ဆိုတာ ကိန္းရွင္တစ္ခုရဲ့ အျပည့္ကိန္း ထပ္ကိန္းမ်ားသာ ပါ၀င္တဲ့ ကိန္းတန္းတစ္ခုေပါ့၊ ကိန္းလံုး တစ္ခုခ်င္းစီကို အေပါင္းအႏႈတ္ လကၡဏာေတြနဲ႔ ခ်ိတ္ဆက္ထားပါတယ္။ အဲဒီကိန္း တစ္ခုခ်င္းစီကို term လို႔ ေခၚပါတယ္။ Poly ဆိုတာ many လို႔ အဓိပၸာယ္ရၿပီး nomial ဆိုတာ terms လို႔ အဓိပၸါယ္ရပါတယ္။ ဒါ့ေၾကာင့္ လံုးေကာက္တိုက္႐ိုက္ ဘာသာျပန္လိုက္ရင္ polynomial ဆိုတာ many terms ေပါ့။

•  2x⁵ – 5x³ – 10x + 9
• 5x³ + 3x – 1
• ax² + bx +c 
• 2x
• –3
  

စတာေတြကို polynomial လို႔ ေခၚပါတယ္။ –3  ဟာ ( – 3x⁰ ျဖစ္လို႔ polynomial အျဖစ္ သတ္မွတ္ ႏိုင္ပါတယ္)

 အထက္က ပံုမွာ ၾကည့္မယ္ဆိုရင္ ထပ္ကိန္းေတြ အဆင့္ဆင့္ေျပာင္းသြားတဲ့ x ကို ကိန္းရွင္ (variable ) လို႔ ေခၚပါတယ္။ variable ေရွ႕မွာ ေျမႇာက္ထားတဲ့ 4, 3, –7 တို႔ကိုေတာ့ ေျမႇာက္ေဖာ္ကိန္း (coefficients) ေတြ လို႔ ေခၚပါတယ္။ –7 ရဲ့ ေနာက္မွာ x⁰ ႐ွိတယ္လို႔ နားလည္ထားရပါမယ္။ x⁰ ဆိုတာ ထည့္ေရးဖို႔ မလိုတဲ့ အတြက္ေၾကာင့္ x⁰ ပါတဲ့ terms ကို ကိန္းေသ (constant term) လို႔ေခၚပါတယ္။ 

အထက္မွာ ေျပာခဲ့တဲ့အတိုင္း polynomial ရဲ့ ထပ္ကိန္းေတြဟာ အျပည့္ကိန္း (0, l , 2, 3, …) ပဲ ျဖစ္ရပါမယ္။  variable ရဲ့ အႀကီးဆံုးထပ္ကိန္း ကိုေတာ့ ၎ polynomial ရဲ့ order သို႔မဟုတ္ degree လို႔ေခၚပါတယ္။  

•  2x⁵ – 5x³ – 10x + 9 (polynomial of order 5 (or) the fifth degree polynomial)
• 5x³ + 3x – 1 (polynomial of order 3 (or) the third degree polynomial)
• ax² + bx +c (polynomial of order 2 (or) the second degree polynomial) 

Polynomial ရဲ့ ထပ္ကိန္းေတြဟာ အႏႈတ္ကိန္း (negative numbers) အပိုင္းကိန္း (fraction) မျဖစ္ရပါဘူး။ ေအာက္ပါကိန္းတန္းေတြကို polynomial လို႔ မသတ္မွတ္ႏိုင္ပါဘူး။

Polynomial တစ္ခုကို ေယ်ဘုယ် (general expression)  အေနနဲ႔ ေအာက္ပါအတိုင္း ေဖၚျပႏိုင္ပါတယ္။

Synthetic Division

Polynomial ကိန္းတန္းတစ္ခုကို polynomial of first degree နဲ႔ စားတဲ့အခါ ရလာတဲ့ remainder အေၾကာင္းကို remainder theorem မွာ ေျပာျပခဲ့ၿပီးပါၿပီ။ Remainder Theorem အရ သိႏိုင္တာက အၾကြင္း (remainder) ပါပဲ။ စားလဒ္ (quotient) ကို သိခ်င္တယ္ဆိုရင္ ဘယ္လို လုပ္ရမလဲ။ ဥပမာ ေလးၾကည့္ရေအာင္။

p(x) = x³–7x–6 ကို x-4 နဲ႔ စားမယ္ဆိုရင္ remainder= p(4) ေပါ့။

p(4)= 4³–7(4)–6 = 30 လို႔သိႏိုင္ပါတယ္။

ဒီေနရာမွာ p(x)=x³–7x–6 ကို dividend (တည္ကိန္း) လို႔ ေခၚပါတယ္။ x – 4 ကို စားကိန္း (divisor) လို႔ ေခၚပါတယ္။ p(4)=30 ကိုေတာ့ အၾကြင္း (remainder) လို႔ ေခၚပါတယ္။ remainder theorem အရ အလြယ္တကူ တြက္ထုတ္ႏိုင္တာက remainder value ပါပဲ။ စားလဒ္ (quotient) ကို လိုခ်ငိတယ္ဆိုရင္ေတာ့ ခ်စားရေတာ့မွာေပါ့။ ဒီလိုပါ။

အခုဆိုရင္ စားလဒ္က q(x)=x²+4x+9 ဆိုတာကို ရရွိမွာ ျဖစ္ပါတယ္။ တကၠသိုလ္၀င္တန္း ျပဌာန္းခ်က္ပါ သင္ရိုးအရ စားလဒ္ကို လိုခ်င္ရင္ ဒီလိုပဲ actual division နဲ႔ပဲ စားရမွာ ျဖစ္ပါတယ္။ ဒါေပမယ့္ multiple choice လို ေမးခြန္းမ်ိဳးအတြက္ စားလဒ္အေျဖကိုပဲ လိုတဲ့အခါ ဒီနည္းဟာ ရွည္လ်ားၿပီး အခ်ိန္ကုန္တာေပါ့။ ဒါဆိုရင္ ဘယ္လို လုပ္မလဲ။ စားလဒ္ေကာ အၾကြင္းကိုပါ အလြယ္တကူ ရွာႏိုင္တဲ့ synthetic division ကို သံုးၿပီး တြက္ထုတ္ ႏိုင္ပါတယ္။

အထက္က စားျပခဲ့တဲ့ polynomial ကိုပဲ ဥပမာအျဖစ္ တြက္ၾကည့္ရေအာင္။ x³–7x–6 ကို x – 4 နဲ႔ စားပါမယ္။

အဆင့္(၁)။ တည္ကိန္းရဲ့ terms ေတြမွာ ပါ၀င္တဲ့ ေျမွာက္ေဖၚကိန္းမ်ား (coefficients) ကို degree အလိုက္ အစဥ္လိုက္ ခ်ေရးပါမယ္။ လက္ရွိကိန္းတန္းမွာ ဆိုရင္ x² ပါတဲ့ကိန္းလံုး (term in x²) မပါ၀င္တဲ့အတြက္ coefficient=0 လို႔ သတ္မွတ္ရမွာ ျဖစ္ပါတယ္။ စားကိန္း (in the form of x – k) မွာ ပါ၀င္တဲ့ constant term k (ဒီဥပမာမွာ ဆိုရင္ေတာ့ k=4 ေပါ့) ကို လည္း ေအာက္မွာ ျပထားသလို ေရးခ်လိုက္ပါ။

အဆင့္(၂)။ ပထမဦးဆံုးေတြ႕တဲ့ coefficient 1 ကို ျပထားသည့္အတိုင္း ဆြဲခ်လိုက္ပါ။ ၎ေနာက္ k တန္ဖိုးျဖစ္ေသာ 4 ႏွင့္ေျမွာက္ၿပီး ဒုတိယ column က 0 ေအာက္တြင္ ရလဒ္ကိုေရးပါ။

အဆင့္(၃)။ ဒုတိယ column မွ တန္ဖိုးမ်ားကို ေပါင္းပါ။ ရလဒ္ကို 4 ႏွင့္ေျမွာက္ၿပီး တတိယ column တြင္ ေရးပါ။ ထိုနည္း အတိုင္း column မ်ားကို ျဖည့္စြက္သြားပါ။

ေရွ႕ဆံုးဂဏန္းသံုးလံုး (1 4 9) သည္ စားလဒ္၏ coefficient မ်ား ျဖစ္ၿပီး 30 မွာ remainder ျဖစ္ပါတယ္္။ မူလ polynomial ၏ degree မွာ 3 ျဖစ္ေသာေၾကာင့္ စားလဒ္မွာ degree တဆင့္ေလွ်ာ့က်သြားပါမယ္။ ဒါေၾကာင့္ စားလဒ္က x²+4x+9 လို႔ အလြယ္တကူ သိႏိုင္ပါတယ္။ အခုေျပာခဲ့တဲ့ နည္းကို synthetic division လို႔ ေခၚပါတယ္။ long polynomial division နဲ႔ ခ်စားရန္ မလိုပဲ quotient ေကာ remainder ပါ အလြယ္တကူ သိႏိုင္တဲ့ နည္းတစ္ခုပါပဲ။

ေနာက္ထပ္ဥပမာ တစ္ပုစ္တြက္ၾကည့္ရေအာင္။

Example 1. Use synthetic division to divide 2x⁵ + 3x⁴ + 25x² − 1 by x + 3.

Dividend = p(x)= 2x⁵ + 3x⁴ + 25x² − 1 .

Divisor = x − k = x + 3 = x – (-3)

Therefore k = -3

Therefore the quotient is 2x⁴ − 3x³ + 9x² − 2x + 6 and the remainder is -19.

ဒီေလာက္ဆိုရင္ synthetic division ကို သေဘာေပါက္ေလာက္ပါၿပီ။